100: janeiro 2011

Análise Combinatória

Análise combinatória é um estudo realizado na matemática e na lógica, é responsável pela análise das possibilidades e das combinações. Observe alguns exemplos de exercícios que são resolvidos utilizando análise combinatória.
Se quiser saber quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é preciso aplicar as propriedades da análise combinatória.
Um homem possui cinco camisas, quatro calças, três paletós e dois pares de sapatos. De quantos modos diferentes pode se vestir? Para saber essas combinações é necessário utilizar as propriedades da análise combinatória.
Para efetuar os cálculos desses problemas devemos estudar algumas propriedades da análise combinatória:
- Princípio fundamental da contagem
- Fatorial
- Arranjos simples
- Permutação simples
- Combinação
- Permutação com elementos repetidos

Teorema de Ptolomeu

Sabemos de grandes matemáticos do passado e de suas variadas contribuições para os campos da álgebra, trigonometria, geometria e demais áreas da matemática, como Pitágoras, Arquimedes, Pascal, Heron de Alexandria e outros. Claudius Ptolomeu também foi um desses grandes matemáticos, além de astrônomo e geógrafo. Ptolomeu nasceu por volta do ano de 85 no Egito e morreu, aproximadamente, no ano de 165 em Alexandria, também no Egito. Foi Ptolomeu quem propôs a teoria do geocentrismo, que perdurou por cerca de 1400 anos.

Além de suas contribuições na astronomia e na geografia, Ptolomeu influenciou a matemática (em particular, a trigonometria) propondo um teorema que leva seu nome: Teorema de Ptolomeu. Vejamos o que diz esse teorema.

Considere um quadrilátero ABCD inscrito em uma circunferência, como mostra a figura. O teorema de Ptolomeu diz que: o produto das diagonais AC e BD é igual à soma dos produtos dos lados opostos.

Ou seja:

AC∙BD = AB∙CD + AD∙BC

Esse teorema é muito útil no estudo da trigonometria, pois, através dele, podemos obter o teorema de Pitágoras e, se combinado com a Lei dos Senos, conseguimos demonstrar as fórmulas de
sen (a + b) e sen (a – b).

Vejamos um exemplo de aplicação do teorema de Ptolomeu.

Exemplo: Considere o quadrilátero ABCD inscrito numa circunferência, como mostra a figura.

Sabendo que a diagonal AC mede 12 cm, determine a medida da diagonal BD.

Solução: Pelo teorema de Ptolomeu, temos que:

AC∙BD = AB∙CD + AD∙BC

Segue que:

Por Marcelo Rigonatto
Mundo Educação

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Coeficiente de variação

Os estudos estatísticos estão relacionados às situações que envolvem estratégias e planejamentos, coleta e organização de dados, análise e interpretação clara e objetiva dos dados observados. Para comparação de dois ou mais conjuntos de dados, a estatística utiliza o desvio padrão, desde que esses dados estejam na mesma unidade de medida. Caso os conjuntos de dados sejam medidos em grandezas diferentes (unidades de medida diferentes), a comparação será feita utilizando o coeficiente de variação.

O coeficiente de variação é usado para analisar a dispersão em termos relativos a seu valor médio quando duas ou mais séries de valores apresentam unidades de medida diferentes. Dessa forma, podemos dizer que o coeficiente de variação é uma forma de expressar a variabilidade dos dados excluindo a influência da ordem de grandeza da variável.

O cálculo do coeficiente de variação é feito através da fórmula:

CV = s/X . 100

Onde,
s → é o desvio padrão
X ̅ → é a média dos dados
CV → é o coeficiente de variação

Como o coeficiente de variação analisa a dispersão em termos relativos, ele será dado em %. Quanto menor for o valor do coeficiente de variação, mais homogêneos serão os dados, ou seja, menor será a dispersão em torno da média. De uma forma geral, se o CV:

For menor ou igual a 15% → baixa dispersão: dados homogêneos
For entre 15 e 30% → média dispersão
For maior que 30% → alta dispersão: dados heterogêneos

Vejamos um exemplo.

Exemplo: Em um grupo de moradores de determinada região foram analisadas a idade (em anos) e a altura (em metros) das pessoas. Deseja-se comparar a dispersão em termos relativos em torno da média dos dois conjuntos de dados, a fim de verificar qual deles é mais homogêneo. Na coleta dos dados verificou-se que:

Idade das pessoas: X ̅=41,6 e s = 0,82
Altura das pessoas: X ̅=1,67 e s = 0,2

Qual conjunto de dados apresenta menor dispersão relativa em torno da média?

Solução: O primeiro fato a se observar é que os dados analisados possuem unidades de medida diferentes. Dessa forma, somente o desvio padrão não é suficiente para comparar os dois conjuntos. Nesse caso, é preciso calcular o coeficiente de variação para fazer a comparação da variação em torno da média dos dados.
Assim, teremos:

Cálculo do CV da idade.

CV = s/X . 100

CV = 0,82 / 41,6 . 100

CV = 0,197 . 100

CV = 1,97%

Cálculo do CV da altura.

CV = s/X . 100

CV = 0,2 / 1,67 . 100

CV = 0,119 . 100

CV = 11,9 %

Interpretação dos dados: como o coeficiente de variação da idade foi menor que o coeficiente de variação da altura, pode-se afirmar que os dados relativos à idade são mais homogêneos que os dados da altura.

Por Marcelo Rigonatto