Painel 24 - Números Decimais 2
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Algarismos significativos
Identificação de algarismos significativos, algarismos corretos e duvidosos. Veja mais.
Os algarismos significativos de um número são os dígitos diferentes de zero, contados a partir da esquerda até o último dígito diferente de zero à direita, caso não haja vírgula decimal, ou até o último dígito (zero ou não) caso haja uma vírgula decimal,
ou ainda
Algarismos significativos são os algarismos corretos de uma medida (contados a partir do primeiro algarismo diferente de zero) e o seu primeiro algarismo duvidoso.
O número 3,85 tem três algarismos significativos. Se expressarmos o número como 3,8500, teremos cinco algarismos significativos, pois os zeros à direita dão maior exatidão para o número.
Exemplos:
a) 43,5 → possui 3 algarismos significativos
b) 8300,0 → possui 5 algarismos significativos
c) 0,032 → possui 2 algarismos significativos
d) 0,009200 → possui 4 algarismos significativos
e) 23400 → possui 3 algarismos significativos
Todos os dígitos diferentes de zero são significativos.
Exemplos:
a) 8,4 → possui 2 algarismos significativos.
b) 456 → possui 3 algarismos significativos.
c) 3400 → possui 2 algarismos significativos.
Os zeros entre dígitos diferentes de zero são significativos.
Exemplos:
a) 407 → possui 3 algarismos significativos.
b) 4,007 → possui 4 algarismos significativos.
c) 7,088 → possui 4 algarismos significativos.
Se existir uma vírgula decimal, todos os zeros à direita da vírgula decimal são significativos
Exemplos:
a) 3,000 → possui 4 algarismos significativos
b) 45,560 → possui 5 algarismos significativos
c) 7,88000 → possui 6 algarismos significativos.
Suponha que se deseje medir o tamanho do besouro.
Uma vez decidido o que caracteriza o tamanho do besouro, qual das alternativas abaixo melhor caracteriza a medida do tamanho do besouro?
a) Entre 0 e 1 cm
b) Entre 1 e 2 cm
c) Entre 1,5 e 1,6 cm
d) Entre 1,54 e 1,56 cm
e) Entre 1,546 e 1,547 cm
Acertou quem optou pela alternativa d). Isso porque, na leitura de uma escala, o algarismo significativo mais à direita de um número deve sempre ser o duvidoso (não esqueça: o algarismo duvidoso é significativo!). Resumindo: Qualquer medida por comparação entre um objeto e uma escala deve incluir além dos dígitos exatos (1,5 nesse caso) uma estimativa do dígito (duvidoso). Uma vez que a régua foi marcada em milímetros você deve estimar o comprimento fracionário (em décimos de mm) que melhor expressa a medida. Você pode não precisar se vale 1,54, 1,55 ou mesmo 1,56. Essa é a expressão da sua incerteza.
Só para confirmar: Qual o diâmetro da moeda?
a) Entre 0 e 2 cm
b) Entre 1 e 2 cm
c) Entre 1,9 e 2,0 cm
d) Entre 1,92 e 1,94 cm
e) Entre 1,935 e 1,945 cm
No exemplo acima podemos afirmar que a metade da menor divisão é uma estimativa da nossa incerteza: portanto o diâmetro da moeda pode ser expresso como:
1,92 ± 0,05 cm
1,92(5) cm
A quantidade de algarismos significativos de uma grandeza medida ou um valor calculado é uma indicação de que quanto mais algarismos significativos, menor é a incerteza no valor.
Para melhor entender, imagine que constatou no termômetro de sua casa, que a medida da temperatura num dia de verão é de 39,0ºC. Neste caso, o algarismo duvidoso é o 0, pois não se sabe ao certo se a temperatura é, por exemplo, 38,99ºC ou 39,01ºC. Logo, os arredondamentos são feitos e nem sempre são realmente conhecidos.
Agora, vamos supor que a medição da temperatura foi de 39,568ºC. Nesse contexto, pode-se introduzir o conceito de precisão e exatidão. Trinta e nove (39) é a um número exato, porém 39,568 é um número mais preciso.
No entanto, é importante salientar que números inteiros que descrevem a quantidade de objetos discretos possuem precisão infinita (7 dias = 7,0000000... dias). Números inteiros que são parte de uma expressão matemática possuem precisão infinita (o 2 na fórmula do comprimento da circunferência 2pR, possui uma precisão infinita uma vez que, por definição, o diâmetro é 2 vezes o raio).
Operações com algarismos significativos
Adição e Subtração
Quando somamos ou subtraímos dois números levando em consideração os algarismos significativos o resultado deve manter a precisão do operando de menor precisão.
34,65 + 0,1234 = 34,7734 = 34,77
O número 34,56 tem quatro algarismos significativos e o último algarismo significativo é o cinco (5) que ocupa a casa dos centésimos. O número 0,1234 apresenta quatro algarismos significativos, mas o último algarismo significativo (4), ocupa a casa dos décimos de milésimos. O último algarismo significativo do resultado deve estar na mesma casa do operando de menor precisão, nesse exemplo é 34,77. Logo, o último algarismo significativo do resultado deve estar na casa dos centésimos.
Multiplicação e Divisão
Na multiplicação e divisão, considerando os algarismos significativos, o resultado deve ter o mesmo número de algarismos significativos do operando com a menor quantidade de algarismos significativos.
1,2345 x 0,340 = 0,419
O número 0,340 apresenta três algarismos significativos, 3, 4 e 0, lembrando que o zero à direita deve ser contado como significativo, enquanto que o à esquerda não. Mas o número 1,2345 apresenta cinco algarismos significativos. O resultado deve ter apenas três algarismos significativos.
Mais exemplos
a) 345,67
Notação científica: 3,4567.102.
Quantidade de algarismos significativos: cinco (3, 4, 5, 6 e 7)
Algarismos corretos: 3, 4, 5 e 6
Algarismo duvidoso: 7
b) 12345,0
Notação científica: 1,23450. 104.
Quantidade de algarismos significativos: seis (1, 2, 3, 4, 5 e 0)
Algarismos corretos: 1,2,3,4 e 5
Algarismo duvidoso: 0
O zero após a vírgula é significativo.
c) 0,0006
Notação científica: 6. 10-4.
Quantidade de algarismos significativos: um (1 )
Algarismo correto: 1
Algarismo duvidoso: 4
Os zeros (0) à esquerda do algarismo 1 não são significativos.
d) 12300
Notação científica: 1,23. 104.
Quantidade de algarismos significativos: três (1, 2 e 3)
Algarismos corretos: 1 e 2
Algarismo duvidoso: 3
Nota: Todos os zeros à direita da vírgula decimal são significativos. (porém, usando notação científica, os zeros à direita somem da representação).
Fonte: http://efisica.if.usp.br
http://www.demec.ufmg.br/
Adaptado com acréscimos
Os algarismos significativos de um número são os dígitos diferentes de zero, contados a partir da esquerda até o último dígito diferente de zero à direita, caso não haja vírgula decimal, ou até o último dígito (zero ou não) caso haja uma vírgula decimal,
ou ainda
Algarismos significativos são os algarismos corretos de uma medida (contados a partir do primeiro algarismo diferente de zero) e o seu primeiro algarismo duvidoso.
O número 3,85 tem três algarismos significativos. Se expressarmos o número como 3,8500, teremos cinco algarismos significativos, pois os zeros à direita dão maior exatidão para o número.
Exemplos:
a) 43,5 → possui 3 algarismos significativos
b) 8300,0 → possui 5 algarismos significativos
c) 0,032 → possui 2 algarismos significativos
d) 0,009200 → possui 4 algarismos significativos
e) 23400 → possui 3 algarismos significativos
Todos os dígitos diferentes de zero são significativos.
Exemplos:
a) 8,4 → possui 2 algarismos significativos.
b) 456 → possui 3 algarismos significativos.
c) 3400 → possui 2 algarismos significativos.
Os zeros entre dígitos diferentes de zero são significativos.
Exemplos:
a) 407 → possui 3 algarismos significativos.
b) 4,007 → possui 4 algarismos significativos.
c) 7,088 → possui 4 algarismos significativos.
Se existir uma vírgula decimal, todos os zeros à direita da vírgula decimal são significativos
Exemplos:
a) 3,000 → possui 4 algarismos significativos
b) 45,560 → possui 5 algarismos significativos
c) 7,88000 → possui 6 algarismos significativos.
Suponha que se deseje medir o tamanho do besouro.
Uma vez decidido o que caracteriza o tamanho do besouro, qual das alternativas abaixo melhor caracteriza a medida do tamanho do besouro?
a) Entre 0 e 1 cm
b) Entre 1 e 2 cm
c) Entre 1,5 e 1,6 cm
d) Entre 1,54 e 1,56 cm
e) Entre 1,546 e 1,547 cm
Acertou quem optou pela alternativa d). Isso porque, na leitura de uma escala, o algarismo significativo mais à direita de um número deve sempre ser o duvidoso (não esqueça: o algarismo duvidoso é significativo!). Resumindo: Qualquer medida por comparação entre um objeto e uma escala deve incluir além dos dígitos exatos (1,5 nesse caso) uma estimativa do dígito (duvidoso). Uma vez que a régua foi marcada em milímetros você deve estimar o comprimento fracionário (em décimos de mm) que melhor expressa a medida. Você pode não precisar se vale 1,54, 1,55 ou mesmo 1,56. Essa é a expressão da sua incerteza.
Só para confirmar: Qual o diâmetro da moeda?
a) Entre 0 e 2 cm
b) Entre 1 e 2 cm
c) Entre 1,9 e 2,0 cm
d) Entre 1,92 e 1,94 cm
e) Entre 1,935 e 1,945 cm
No exemplo acima podemos afirmar que a metade da menor divisão é uma estimativa da nossa incerteza: portanto o diâmetro da moeda pode ser expresso como:
1,92 ± 0,05 cm
1,92(5) cm
A quantidade de algarismos significativos de uma grandeza medida ou um valor calculado é uma indicação de que quanto mais algarismos significativos, menor é a incerteza no valor.
Para melhor entender, imagine que constatou no termômetro de sua casa, que a medida da temperatura num dia de verão é de 39,0ºC. Neste caso, o algarismo duvidoso é o 0, pois não se sabe ao certo se a temperatura é, por exemplo, 38,99ºC ou 39,01ºC. Logo, os arredondamentos são feitos e nem sempre são realmente conhecidos.
Agora, vamos supor que a medição da temperatura foi de 39,568ºC. Nesse contexto, pode-se introduzir o conceito de precisão e exatidão. Trinta e nove (39) é a um número exato, porém 39,568 é um número mais preciso.
No entanto, é importante salientar que números inteiros que descrevem a quantidade de objetos discretos possuem precisão infinita (7 dias = 7,0000000... dias). Números inteiros que são parte de uma expressão matemática possuem precisão infinita (o 2 na fórmula do comprimento da circunferência 2pR, possui uma precisão infinita uma vez que, por definição, o diâmetro é 2 vezes o raio).
Operações com algarismos significativos
Adição e Subtração
Quando somamos ou subtraímos dois números levando em consideração os algarismos significativos o resultado deve manter a precisão do operando de menor precisão.
34,65 + 0,1234 = 34,7734 = 34,77
O número 34,56 tem quatro algarismos significativos e o último algarismo significativo é o cinco (5) que ocupa a casa dos centésimos. O número 0,1234 apresenta quatro algarismos significativos, mas o último algarismo significativo (4), ocupa a casa dos décimos de milésimos. O último algarismo significativo do resultado deve estar na mesma casa do operando de menor precisão, nesse exemplo é 34,77. Logo, o último algarismo significativo do resultado deve estar na casa dos centésimos.
Multiplicação e Divisão
Na multiplicação e divisão, considerando os algarismos significativos, o resultado deve ter o mesmo número de algarismos significativos do operando com a menor quantidade de algarismos significativos.
1,2345 x 0,340 = 0,419
O número 0,340 apresenta três algarismos significativos, 3, 4 e 0, lembrando que o zero à direita deve ser contado como significativo, enquanto que o à esquerda não. Mas o número 1,2345 apresenta cinco algarismos significativos. O resultado deve ter apenas três algarismos significativos.
Mais exemplos
a) 345,67
Notação científica: 3,4567.102.
Quantidade de algarismos significativos: cinco (3, 4, 5, 6 e 7)
Algarismos corretos: 3, 4, 5 e 6
Algarismo duvidoso: 7
b) 12345,0
Notação científica: 1,23450. 104.
Quantidade de algarismos significativos: seis (1, 2, 3, 4, 5 e 0)
Algarismos corretos: 1,2,3,4 e 5
Algarismo duvidoso: 0
O zero após a vírgula é significativo.
c) 0,0006
Notação científica: 6. 10-4.
Quantidade de algarismos significativos: um (1 )
Algarismo correto: 1
Algarismo duvidoso: 4
Os zeros (0) à esquerda do algarismo 1 não são significativos.
d) 12300
Notação científica: 1,23. 104.
Quantidade de algarismos significativos: três (1, 2 e 3)
Algarismos corretos: 1 e 2
Algarismo duvidoso: 3
Nota: Todos os zeros à direita da vírgula decimal são significativos. (porém, usando notação científica, os zeros à direita somem da representação).
Fonte: http://efisica.if.usp.br
http://www.demec.ufmg.br/
Adaptado com acréscimos
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