Algarismos significativos
Identificação de algarismos significativos, algarismos corretos e duvidosos. Veja mais.
Os algarismos significativos de um número são os dígitos diferentes de zero, contados a partir da esquerda até o último dígito diferente de zero à direita, caso não haja vírgula decimal, ou até o último dígito (zero ou não) caso haja uma vírgula decimal,
ou ainda
Algarismos significativos são os algarismos corretos de uma medida (contados a partir do primeiro algarismo diferente de zero) e o seu primeiro algarismo duvidoso.
O número 3,85 tem três algarismos significativos. Se expressarmos o número como 3,8500, teremos cinco algarismos significativos, pois os zeros à direita dão maior exatidão para o número.
Exemplos:
a) 43,5 → possui 3 algarismos significativos
b) 8300,0 → possui 5 algarismos significativos
c) 0,032 → possui 2 algarismos significativos
d) 0,009200 → possui 4 algarismos significativos
e) 23400 → possui 3 algarismos significativos
Todos os dígitos diferentes de zero são significativos.
Exemplos:
a) 8,4 → possui 2 algarismos significativos.
b) 456 → possui 3 algarismos significativos.
c) 3400 → possui 2 algarismos significativos.
Os zeros entre dígitos diferentes de zero são significativos.
Exemplos:
a) 407 → possui 3 algarismos significativos.
b) 4,007 → possui 4 algarismos significativos.
c) 7,088 → possui 4 algarismos significativos.
Se existir uma vírgula decimal, todos os zeros à direita da vírgula decimal são significativos
Exemplos:
a) 3,000 → possui 4 algarismos significativos
b) 45,560 → possui 5 algarismos significativos
c) 7,88000 → possui 6 algarismos significativos.
Suponha que se deseje medir o tamanho do besouro.
Uma vez decidido o que caracteriza o tamanho do besouro, qual das alternativas abaixo melhor caracteriza a medida do tamanho do besouro?
a) Entre 0 e 1 cm
b) Entre 1 e 2 cm
c) Entre 1,5 e 1,6 cm
d) Entre 1,54 e 1,56 cm
e) Entre 1,546 e 1,547 cm
Acertou quem optou pela alternativa d). Isso porque, na leitura de uma escala, o algarismo significativo mais à direita de um número deve sempre ser o duvidoso (não esqueça: o algarismo duvidoso é significativo!). Resumindo: Qualquer medida por comparação entre um objeto e uma escala deve incluir além dos dígitos exatos (1,5 nesse caso) uma estimativa do dígito (duvidoso). Uma vez que a régua foi marcada em milímetros você deve estimar o comprimento fracionário (em décimos de mm) que melhor expressa a medida. Você pode não precisar se vale 1,54, 1,55 ou mesmo 1,56. Essa é a expressão da sua incerteza.
Só para confirmar: Qual o diâmetro da moeda?
a) Entre 0 e 2 cm
b) Entre 1 e 2 cm
c) Entre 1,9 e 2,0 cm
d) Entre 1,92 e 1,94 cm
e) Entre 1,935 e 1,945 cm
No exemplo acima podemos afirmar que a metade da menor divisão é uma estimativa da nossa incerteza: portanto o diâmetro da moeda pode ser expresso como:
1,92 ± 0,05 cm
1,92(5) cm
A quantidade de algarismos significativos de uma grandeza medida ou um valor calculado é uma indicação de que quanto mais algarismos significativos, menor é a incerteza no valor.
Para melhor entender, imagine que constatou no termômetro de sua casa, que a medida da temperatura num dia de verão é de 39,0ºC. Neste caso, o algarismo duvidoso é o 0, pois não se sabe ao certo se a temperatura é, por exemplo, 38,99ºC ou 39,01ºC. Logo, os arredondamentos são feitos e nem sempre são realmente conhecidos.
Agora, vamos supor que a medição da temperatura foi de 39,568ºC. Nesse contexto, pode-se introduzir o conceito de precisão e exatidão. Trinta e nove (39) é a um número exato, porém 39,568 é um número mais preciso.
No entanto, é importante salientar que números inteiros que descrevem a quantidade de objetos discretos possuem precisão infinita (7 dias = 7,0000000... dias). Números inteiros que são parte de uma expressão matemática possuem precisão infinita (o 2 na fórmula do comprimento da circunferência 2pR, possui uma precisão infinita uma vez que, por definição, o diâmetro é 2 vezes o raio).
Operações com algarismos significativos
Adição e Subtração
Quando somamos ou subtraímos dois números levando em consideração os algarismos significativos o resultado deve manter a precisão do operando de menor precisão.
34,65 + 0,1234 = 34,7734 = 34,77
O número 34,56 tem quatro algarismos significativos e o último algarismo significativo é o cinco (5) que ocupa a casa dos centésimos. O número 0,1234 apresenta quatro algarismos significativos, mas o último algarismo significativo (4), ocupa a casa dos décimos de milésimos. O último algarismo significativo do resultado deve estar na mesma casa do operando de menor precisão, nesse exemplo é 34,77. Logo, o último algarismo significativo do resultado deve estar na casa dos centésimos.
Multiplicação e Divisão
Na multiplicação e divisão, considerando os algarismos significativos, o resultado deve ter o mesmo número de algarismos significativos do operando com a menor quantidade de algarismos significativos.
1,2345 x 0,340 = 0,419
O número 0,340 apresenta três algarismos significativos, 3, 4 e 0, lembrando que o zero à direita deve ser contado como significativo, enquanto que o à esquerda não. Mas o número 1,2345 apresenta cinco algarismos significativos. O resultado deve ter apenas três algarismos significativos.
Mais exemplos
a) 345,67
Notação científica: 3,4567.102.
Quantidade de algarismos significativos: cinco (3, 4, 5, 6 e 7)
Algarismos corretos: 3, 4, 5 e 6
Algarismo duvidoso: 7
b) 12345,0
Notação científica: 1,23450. 104.
Quantidade de algarismos significativos: seis (1, 2, 3, 4, 5 e 0)
Algarismos corretos: 1,2,3,4 e 5
Algarismo duvidoso: 0
O zero após a vírgula é significativo.
c) 0,0006
Notação científica: 6. 10-4.
Quantidade de algarismos significativos: um (1 )
Algarismo correto: 1
Algarismo duvidoso: 4
Os zeros (0) à esquerda do algarismo 1 não são significativos.
d) 12300
Notação científica: 1,23. 104.
Quantidade de algarismos significativos: três (1, 2 e 3)
Algarismos corretos: 1 e 2
Algarismo duvidoso: 3
Nota: Todos os zeros à direita da vírgula decimal são significativos. (porém, usando notação científica, os zeros à direita somem da representação).
Fonte: http://efisica.if.usp.br
http://www.demec.ufmg.br/
Adaptado com acréscimos
Os algarismos significativos de um número são os dígitos diferentes de zero, contados a partir da esquerda até o último dígito diferente de zero à direita, caso não haja vírgula decimal, ou até o último dígito (zero ou não) caso haja uma vírgula decimal,
ou ainda
Algarismos significativos são os algarismos corretos de uma medida (contados a partir do primeiro algarismo diferente de zero) e o seu primeiro algarismo duvidoso.
O número 3,85 tem três algarismos significativos. Se expressarmos o número como 3,8500, teremos cinco algarismos significativos, pois os zeros à direita dão maior exatidão para o número.
Exemplos:
a) 43,5 → possui 3 algarismos significativos
b) 8300,0 → possui 5 algarismos significativos
c) 0,032 → possui 2 algarismos significativos
d) 0,009200 → possui 4 algarismos significativos
e) 23400 → possui 3 algarismos significativos
Todos os dígitos diferentes de zero são significativos.
Exemplos:
a) 8,4 → possui 2 algarismos significativos.
b) 456 → possui 3 algarismos significativos.
c) 3400 → possui 2 algarismos significativos.
Os zeros entre dígitos diferentes de zero são significativos.
Exemplos:
a) 407 → possui 3 algarismos significativos.
b) 4,007 → possui 4 algarismos significativos.
c) 7,088 → possui 4 algarismos significativos.
Se existir uma vírgula decimal, todos os zeros à direita da vírgula decimal são significativos
Exemplos:
a) 3,000 → possui 4 algarismos significativos
b) 45,560 → possui 5 algarismos significativos
c) 7,88000 → possui 6 algarismos significativos.
Suponha que se deseje medir o tamanho do besouro.
Uma vez decidido o que caracteriza o tamanho do besouro, qual das alternativas abaixo melhor caracteriza a medida do tamanho do besouro?
a) Entre 0 e 1 cm
b) Entre 1 e 2 cm
c) Entre 1,5 e 1,6 cm
d) Entre 1,54 e 1,56 cm
e) Entre 1,546 e 1,547 cm
Acertou quem optou pela alternativa d). Isso porque, na leitura de uma escala, o algarismo significativo mais à direita de um número deve sempre ser o duvidoso (não esqueça: o algarismo duvidoso é significativo!). Resumindo: Qualquer medida por comparação entre um objeto e uma escala deve incluir além dos dígitos exatos (1,5 nesse caso) uma estimativa do dígito (duvidoso). Uma vez que a régua foi marcada em milímetros você deve estimar o comprimento fracionário (em décimos de mm) que melhor expressa a medida. Você pode não precisar se vale 1,54, 1,55 ou mesmo 1,56. Essa é a expressão da sua incerteza.
Só para confirmar: Qual o diâmetro da moeda?
a) Entre 0 e 2 cm
b) Entre 1 e 2 cm
c) Entre 1,9 e 2,0 cm
d) Entre 1,92 e 1,94 cm
e) Entre 1,935 e 1,945 cm
No exemplo acima podemos afirmar que a metade da menor divisão é uma estimativa da nossa incerteza: portanto o diâmetro da moeda pode ser expresso como:
1,92 ± 0,05 cm
1,92(5) cm
A quantidade de algarismos significativos de uma grandeza medida ou um valor calculado é uma indicação de que quanto mais algarismos significativos, menor é a incerteza no valor.
Para melhor entender, imagine que constatou no termômetro de sua casa, que a medida da temperatura num dia de verão é de 39,0ºC. Neste caso, o algarismo duvidoso é o 0, pois não se sabe ao certo se a temperatura é, por exemplo, 38,99ºC ou 39,01ºC. Logo, os arredondamentos são feitos e nem sempre são realmente conhecidos.
Agora, vamos supor que a medição da temperatura foi de 39,568ºC. Nesse contexto, pode-se introduzir o conceito de precisão e exatidão. Trinta e nove (39) é a um número exato, porém 39,568 é um número mais preciso.
No entanto, é importante salientar que números inteiros que descrevem a quantidade de objetos discretos possuem precisão infinita (7 dias = 7,0000000... dias). Números inteiros que são parte de uma expressão matemática possuem precisão infinita (o 2 na fórmula do comprimento da circunferência 2pR, possui uma precisão infinita uma vez que, por definição, o diâmetro é 2 vezes o raio).
Operações com algarismos significativos
Adição e Subtração
Quando somamos ou subtraímos dois números levando em consideração os algarismos significativos o resultado deve manter a precisão do operando de menor precisão.
34,65 + 0,1234 = 34,7734 = 34,77
O número 34,56 tem quatro algarismos significativos e o último algarismo significativo é o cinco (5) que ocupa a casa dos centésimos. O número 0,1234 apresenta quatro algarismos significativos, mas o último algarismo significativo (4), ocupa a casa dos décimos de milésimos. O último algarismo significativo do resultado deve estar na mesma casa do operando de menor precisão, nesse exemplo é 34,77. Logo, o último algarismo significativo do resultado deve estar na casa dos centésimos.
Multiplicação e Divisão
Na multiplicação e divisão, considerando os algarismos significativos, o resultado deve ter o mesmo número de algarismos significativos do operando com a menor quantidade de algarismos significativos.
1,2345 x 0,340 = 0,419
O número 0,340 apresenta três algarismos significativos, 3, 4 e 0, lembrando que o zero à direita deve ser contado como significativo, enquanto que o à esquerda não. Mas o número 1,2345 apresenta cinco algarismos significativos. O resultado deve ter apenas três algarismos significativos.
Mais exemplos
a) 345,67
Notação científica: 3,4567.102.
Quantidade de algarismos significativos: cinco (3, 4, 5, 6 e 7)
Algarismos corretos: 3, 4, 5 e 6
Algarismo duvidoso: 7
b) 12345,0
Notação científica: 1,23450. 104.
Quantidade de algarismos significativos: seis (1, 2, 3, 4, 5 e 0)
Algarismos corretos: 1,2,3,4 e 5
Algarismo duvidoso: 0
O zero após a vírgula é significativo.
c) 0,0006
Notação científica: 6. 10-4.
Quantidade de algarismos significativos: um (1 )
Algarismo correto: 1
Algarismo duvidoso: 4
Os zeros (0) à esquerda do algarismo 1 não são significativos.
d) 12300
Notação científica: 1,23. 104.
Quantidade de algarismos significativos: três (1, 2 e 3)
Algarismos corretos: 1 e 2
Algarismo duvidoso: 3
Nota: Todos os zeros à direita da vírgula decimal são significativos. (porém, usando notação científica, os zeros à direita somem da representação).
Fonte: http://efisica.if.usp.br
http://www.demec.ufmg.br/
Adaptado com acréscimos
Análise Combinatória
Análise combinatória é um estudo realizado na matemática e na lógica, é responsável pela análise das possibilidades e das combinações. Observe alguns exemplos de exercícios que são resolvidos utilizando análise combinatória.
Se quiser saber quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é preciso aplicar as propriedades da análise combinatória.
Um homem possui cinco camisas, quatro calças, três paletós e dois pares de sapatos. De quantos modos diferentes pode se vestir? Para saber essas combinações é necessário utilizar as propriedades da análise combinatória.
Para efetuar os cálculos desses problemas devemos estudar algumas propriedades da análise combinatória:
- Princípio fundamental da contagem
- Fatorial
- Arranjos simples
- Permutação simples
- Combinação
- Permutação com elementos repetidos
Teorema de Ptolomeu
Sabemos de grandes matemáticos do passado e de suas variadas contribuições para os campos da álgebra, trigonometria, geometria e demais áreas da matemática, como Pitágoras, Arquimedes, Pascal, Heron de Alexandria e outros. Claudius Ptolomeu também foi um desses grandes matemáticos, além de astrônomo e geógrafo. Ptolomeu nasceu por volta do ano de 85 no Egito e morreu, aproximadamente, no ano de 165 em Alexandria, também no Egito. Foi Ptolomeu quem propôs a teoria do geocentrismo, que perdurou por cerca de 1400 anos.
Além de suas contribuições na astronomia e na geografia, Ptolomeu influenciou a matemática (em particular, a trigonometria) propondo um teorema que leva seu nome: Teorema de Ptolomeu. Vejamos o que diz esse teorema.
Considere um quadrilátero ABCD inscrito em uma circunferência, como mostra a figura. O teorema de Ptolomeu diz que: o produto das diagonais AC e BD é igual à soma dos produtos dos lados opostos.
Ou seja:
AC∙BD = AB∙CD + AD∙BC
Esse teorema é muito útil no estudo da trigonometria, pois, através dele, podemos obter o teorema de Pitágoras e, se combinado com a Lei dos Senos, conseguimos demonstrar as fórmulas de
sen (a + b) e sen (a – b).
Vejamos um exemplo de aplicação do teorema de Ptolomeu.
Exemplo: Considere o quadrilátero ABCD inscrito numa circunferência, como mostra a figura.
Sabendo que a diagonal AC mede 12 cm, determine a medida da diagonal BD.
Solução: Pelo teorema de Ptolomeu, temos que:
AC∙BD = AB∙CD + AD∙BC
Segue que:
Por Marcelo Rigonatto
Mundo Educação
Coeficiente de variação
Os estudos estatísticos estão relacionados às situações que envolvem estratégias e planejamentos, coleta e organização de dados, análise e interpretação clara e objetiva dos dados observados. Para comparação de dois ou mais conjuntos de dados, a estatística utiliza o desvio padrão, desde que esses dados estejam na mesma unidade de medida. Caso os conjuntos de dados sejam medidos em grandezas diferentes (unidades de medida diferentes), a comparação será feita utilizando o coeficiente de variação.
O coeficiente de variação é usado para analisar a dispersão em termos relativos a seu valor médio quando duas ou mais séries de valores apresentam unidades de medida diferentes. Dessa forma, podemos dizer que o coeficiente de variação é uma forma de expressar a variabilidade dos dados excluindo a influência da ordem de grandeza da variável.
O cálculo do coeficiente de variação é feito através da fórmula:
CV = s/X . 100
Onde,
s → é o desvio padrão
X ̅ → é a média dos dados
CV → é o coeficiente de variação
Como o coeficiente de variação analisa a dispersão em termos relativos, ele será dado em %. Quanto menor for o valor do coeficiente de variação, mais homogêneos serão os dados, ou seja, menor será a dispersão em torno da média. De uma forma geral, se o CV:
For menor ou igual a 15% → baixa dispersão: dados homogêneos
For entre 15 e 30% → média dispersão
For maior que 30% → alta dispersão: dados heterogêneos
Exemplo: Em um grupo de moradores de determinada região foram analisadas a idade (em anos) e a altura (em metros) das pessoas. Deseja-se comparar a dispersão em termos relativos em torno da média dos dois conjuntos de dados, a fim de verificar qual deles é mais homogêneo. Na coleta dos dados verificou-se que:
Idade das pessoas: X ̅=41,6 e s = 0,82
Altura das pessoas: X ̅=1,67 e s = 0,2
Qual conjunto de dados apresenta menor dispersão relativa em torno da média?
Solução: O primeiro fato a se observar é que os dados analisados possuem unidades de medida diferentes. Dessa forma, somente o desvio padrão não é suficiente para comparar os dois conjuntos. Nesse caso, é preciso calcular o coeficiente de variação para fazer a comparação da variação em torno da média dos dados.
Assim, teremos:
Cálculo do CV da idade.
CV = s/X . 100
CV = 0,82 / 41,6 . 100
CV = 0,197 . 100
CV = 1,97%
Cálculo do CV da altura.
CV = s/X . 100
CV = 0,2 / 1,67 . 100
CV = 0,119 . 100
CV = 11,9 %
Interpretação dos dados: como o coeficiente de variação da idade foi menor que o coeficiente de variação da altura, pode-se afirmar que os dados relativos à idade são mais homogêneos que os dados da altura.
Por Marcelo Rigonatto
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